New PDF release: Berechenbarkeit: Rekursive und Programmierbare Funktionen

By Walter Felscher

ISBN-10: 3540563547

ISBN-13: 9783540563549

ISBN-10: 3642780199

ISBN-13: 9783642780196

Dieses Lehrbuch behandelt verständlich, umfassend und glossy die Theorie der Berechenbarkeit, ein klassisches Gebiet der Mathematischen Logik, das als Grundlagengebiet auch für die Informatik von höchster Bedeutung ist. Lebendig und didaktisch klar wird das Studium der berechenbaren Funktionen auf dem Programmbegriff aufgebaut. Dabei sind die Induktion als Beweisprinzip und die Rekursion als Konstruktionsprinzip die beiden grundlegenden Werkzeuge für den Umgang mit Zahlen und Funktionen. Obwohl über eine gewisse Vertrautheit mit der mathematischen Argumentationsweise hinaus keine inhaltlichen Kenntnisse aus der Mathematik oder der Informatik vorausgesetzt werden, findet auch der Kenner eine durch viele neuartige info angereicherte und an neuesten Ergebnissen orientierte Darstellung.

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Ebenfalls simpel sind die l-stelligen Komponentenfunktionen CRO o und CRO I der zu CAU inversen Abbildung UAC mit z = CAU(CRO o(z),CRO I (z) . ) Zunachst ist CAU in F, da ich CAU(x,y) auch als QU(2,(x+y)(x+y+l)) + x schreiben kann. Mithin ist G(CAU) in R(F), also auch die Menge R3 aller mit (c) z = CAU(x,y) Hier aber gilt y~ z weshalb R2 = 3 0 ~R3 aIle enthalt, die (c) mit einem y erfUllen. Es gilt aber auch x~ z, und da CAU in der Tat eine Bijektion ist, folgt nun, daB z die Zahl x in (c) eindeutig bestimmt.

Endlich kann ich auch FP 1 explizit kennzeichnen durch (FP6) FP 1 ist die kleinste Klasse F, welche cl, +, es , ALT und die p~ enthiilt und abgeschlossen ist unter Superpositionen. 48 4 PRIMITIV REKURSIVE FUNKTIONEN Nach dem schon Bewiesenen ist die kleinste Klasse F jedenfalls in FP 1 enthalten. Andererseits gilt zunachst c~=esocl und s=+o. Weiter liegt eSG als ALT(1,x) in F . Es bleibt daher zu zeigen, daB F die aus Funktionen gk und rk+2 von FP o nach (SPR)definierten Funktionen fk+l enthalt, und dabei unterscheide ich nach den Moglichkeiten fUr rk+2 gemaB der Kennzeichnung (FPO).

Die Funktionen IF( - ,m) nenne ieh die elementaren Skalierungsfunktionen, und Induktion lehrt sogleieh, daB jede von ihnen elementar ist. Nun fin de ieh : 0 oder (m = 0 und x> 3) =F(2x), gilt IF(x,m)2 IF(x,m+1) fUr m > 0 . Da F(x)2 =F(2· IF(x,m-1)) ~ F(IF(x,m)) = (5) IF(x,m)' IF(x,n) ~ IF(x,l+max(m,n)) .

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Berechenbarkeit: Rekursive und Programmierbare Funktionen by Walter Felscher


by Brian
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